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Grid Systems

People who are new to computational modeling may be a little bewildered—even intimidated—by the process known as grid generation. This note describes the most common types of three-dimensional grids with comments on their advantages and disadvantages.

격자 시스템

수치해석 모델링에 익숙하지 않은 사람들은 격자를 생성하는 작업은 조금 당황스럽거나 혼란스러워 할지도 모릅니다.  여기에서는 가장 일반적인 유형의 3차원 격자에 대하여 각각의 장점과 단점을 포함하여 설명합니다.

Fixed, Orthogonal and Fixed, Non-Orthogonal

Gridding is the process of subdividing a region to be modeled into a set of small control volumes. Associated with each control volume are one or more values of the dependent flow variables (e.g., velocity, pressure, temperature, etc.) Usually these represent some type of locally averaged values. Numerical algorithms representing approximations to the conservation laws of mass, momentum, and energy are then used to compute these variables in each control volume.

고정 직교 격자와 고정 비 직교 격자
격자 생성은 모델링 대상 영역을 일련의 작은 컨트롤 볼륨으로 세분화하는 과정입니다.  각각의 컨트롤 볼륨은 하나 이상의 종속 흐름 변수 (속도, 압력, 온도 등)의 값이 연결됩니다.  일반적으로 이들은 어떤 유형의 국소적인 평균값을 나타냅니다.  질량, 운동량, 에너지 보존 법칙에 근사치를 나타내는 수치 알고리즘을 사용하여 컨트롤 볼륨마다 이 변수가 계산됩니다.

Control Volume Choices

Uniform Rectangular

Some computational schemes use grids that deform to follow the motion of a fluid (Lagrangian grids) while others use fixed grids (Eulerian grids). Sometimes a combination is used so that moving grids don’t become too distorted (Arbitrary-Lagrangian-Eulerian grids). In this note we will only address issues associated with the subdivision of space into a set of control volumes and leave the question of moving versus stationary grids for another note.

컨트롤 볼륨의 선택

계산법에 의해 유체의 움직임에 따라 변형 격자 (라그랑주 격자)를 사용하는 경우와 고정 격자 (오일러 격자)를 사용하는 경우가 있습니다.  경우에 따라서는 가동 격자가 변형을 초과하지 않도록 두 종류의 격자를 함께 사용합니다(ALE (Arbitrary-Lagrangian-Eulerian : 모든 – 라그랑주 – 오일러) 격자).  여기에서는 공간을 일련의 컨트롤 볼륨으로 세분화하는 것과 관련된 문제만을 취급하며 움직이는 격자와 고정 격자의 문제에 대해서는 다른 기사에서 설명합니다.

Variable Rectangular

Grids may be structured or unstructured. A structured grid means that the volume elements are well ordered, and a simple scheme (e.g., I,J,K indices) can be used to label elements and identify neighbors. In unstructured grids, volume elements can be joined in any manner, and special lists must be kept to identify neighboring elements.

격자는 구조 격자와 비 구조 격자가 있습니다.  구조 격자는 체적 요소가 정연하게 배열되어 있고, 간단한 구조 (I, J, K 인덱스 등)를 사용하여 요소에 레이블을 지정하거나 인접 요소를 식별 할 수있는 것을 의미합니다 .  비 구조 격자는 체적 요소는 어떤 방법으로도 결합 할 수 있도록 인접한 요소를 식별하는 데 필요한 특별한 목록을 유지해야합니다.

Structured Meshing of Control Volumes

Structured grids come in several varieties, depending on the shape of their elements. The simplest grid is generated from a rectangular box by subdividing it into a set of rectangular elements whose faces are parallel to the faces of the box. Most often the elements are ordered by counting in the x then y and finally the z-direction, so that grid element (I,J,K) would be the ith element in the x-direction, etc.

컨트롤 볼륨의 구조 메쉬

구조 격자 요소의 형상에 따라 다양한 종류가 있습니다.  가장 간단한 격자는 사각형의 상자를 상자의 측면과 병행면을 가지는 일련의 직사각형 요소로 세분화하여 생성됩니다.  종종 요소의 순서는 x 방향, y 방향 및 z 방향의 순서로 계산 격자 요소 (I, J, K)가 x 방향의 i 번째 요소가 되도록 하는 등 정해져 있습니다.

Grids composed of regular brick elements have the simplest structure since it is only necessary to define three one-dimensional arrays for the x, y, and z values of the surfaces defining the element surfaces. If I,J, and K are the maximum indices in the x, y, and z directions, then the total number of values needed to define the grid is I+J+K. Rectangular grids with slowly varying element sizes also exhibit a regularity that helps to maintain numerical accuracy.

일정한 블록 요소로 구성되어있는 격자는 가장 간단한 구조입니다.  이것은 요소의 표면을 정의하는 표면의 x, y, z 값에 대한 1 차원 배열을 3 개 정의하는 것만으로 좋기 때문입니다.  I, J, K는 x, y, z 방향의 최대의 인덱스 인 경우, 격자를 정의하는 데 필요한 값의 합계는 I + J + K입니다.  요소의 크기가 천천히 변화하는 사각형 격자도 규칙 성을 나타내고 숫자의 정밀도를 유지할 수 있습니다.

One limitation of rectangular elements is that geometric surfaces are usually approximated by blocking out entire elements, which leads to boundaries having discrete steps. These steps introduce flow losses and produce other undesirable effects (No Loss With FAVOR™).

사각형 요소의 제한의 하나는 기하 형상의 표면이 일반적으로 요소 전체를 블록으로 분할하여 근사 될 것입니다.  그러면 경계가 불연속 계단입니다.  이러한 계단 부분에 따라 유동 손실이 생겨 바람직하지 않은 다른 효과도 발생합니다 ( “FAVOR TM를 사용하여 손실 제로”참조).

There are two ways to get better geometric representations of curved obstacle surfaces. One is to deform the grid elements to conform with specified geometric shapes. The resulting elements then have general hexahedral shapes, and the grid is often referred to as a body-fitted grid. Another technique is to keep the rectangular elements but supplement them with some means of defining obstacles cutting through their interiors. A technique of this type, called FAVOR™, is used in the FLOW-3D program. The FAVOR™ method is described in more detail below.

장애물이있는 곡면을 더 정확하게 기하학적 형상으로 표현하는 두 가지 방법이 있습니다.  하나는 지정된 기하 형상에 맞게 격자 요소를 변형하는 것입니다.  이 경우 요소는 일반적인 육면체의 형상이 많은 경우 격자는 물체 적합 격자( body-fitted grid)라고합니다.  또 다른 기법은 사각형 요소를 유지하면서 내부를 잘라 장애물을 정의하는 방법을 보충하는 것입니다.  이 유형의 기술은 FAVOR™이라고, FLOW-3D 프로그램에서 사용되고 있습니다.  FAVOR™법에 대해서는 다음에 자세히 설명합니다.

Rectangular and Deformed Mesh Comparisons

1. Requires 4 3D Arrays (FAVOR™) 2. Easy Mesh Generation 3. Simple Numerical Algorithm

Hexahedral elements require three coordinates to locate each corner point, or 3*(I+1)*(J+1)*(K+1) values for the entire grid, which is much larger than the I+J+K values needed for rectangular grids. In addition, other three-dimensional arrays are usually kept, such as their face areas and volumes, so these quantities don’t have to be constantly recomputed.

This uses a large amount of stored memory and increases memory retrieval times. Although memory is becoming inexpensive, the amount of memory to be retrieved is becoming an important consideration in parallel computing.

사각형 메쉬 변형 메쉬의 비교

육각형 요소는 각 정점의 위치를 결정하는데 3 개의 좌표가 필요합니다.  격자 전체에서는 3 * (I + 1) * (J + 1) * (K + 1) 개의 값이 필요 직사각형 격자에 필요한 I + J + K 개의 값보다 훨씬 많아집니다.  또한 표면적과 체적 등 기타 3 차원 배열은 일반적으로 유지되기 때문에이 금액은 수시로 재 계산할 필요는 없습니다.

이를 통해 대량의 저장 메모리가 사용 된 메모리의 검색 시간이 길어집니다.  메모리의 비용은 내려오고 있지만 검색 할 메모리의 양은 병렬 컴퓨팅을위한 중요한 문제가되어 가고 있습니다.

1. Requires 10 or more 3D Arrays 2. Complex Mesh Generation 3. Algorithms More Complex

The distortion of elements away from a purely rectangular shape has several consequences. For one thing, distortion may reduce numerical accuracy because numerical approximations are no longer centered (or symmetric) about the centroid of the volume element. This drawback, however, may be balanced by the increase in local grid resolution afforded by the distortion.

순수한 직사각형 모양에서 요소를 왜곡하면 다양한 효과가 있습니다.  그 중 하나는 왜곡하여 수치 근사가 체적 요소의 중심이 없게되면 (또는 대칭) 수치적 정확도가 저하 될 수 있습니다.  그러나 이 문제는 왜곡으로 인한 국소적인 격자 해상도의 증가에 의해 상쇄될 수 있습니다.

Another consequence of distortion is that numerical approximations become more complex. Not only must forces and fluxes be converted to normal and tangential components at element faces, but it is generally necessary to include data from all surrounding elements (i.e., the 26 face, edge, and corner neighbors of a hexahedral) in the approximations for a given element. In purely rectangular grids, only the six neighbors having a common face with a given element must be directly coupled.

왜곡에 의한 또 다른 영향은 수치 근사가 더 복잡해질 것입니다.  요소의 각면에서 힘과 플럭스를 법선 성분과 접선 성분으로 변환해야 할 뿐만 아니라 일반적으로 주어진 요소의 근사치에 주위의 모든 요소 (육면체의 26 개면, 모서리, 정점의 인접 요소)에서 데이터를 포함 할 필요가 있습니다.  순수한 사각형 격자에서 직접 결합할 필요가있는 것은 주어진 요소와 일치하는 면을 가진 6 개의 인접 요소뿐입니다.

Finally, it should be noted that it is not always possible to deform a structured rectangular grid into any shape. For example, attempts to deform a straight section into an L-shape results in collapsed or inverted elements in the inside corner. Solutions to this limitation consist of either coupling together more than one structured grid block for a simple kind of unstructuring or resorting to fully unstructured grids.

마지막으로, 구조화된 사각형 격자를 어떤 모양으로 변형 할 수 없는 경우도 있다는 점에 유의하십시오.  예를 들어, 직선 부분을 L 자형으로 변형하려고하면 몸쪽으로 요소가 손상되거나 반전합니다.  이 제한을 해결하려면 여러 구조 격자 블록을 결합하여 간단한 비정형으로 하거나 완전한 비 구조 격자를 사용합니다.

Unstructured Meshing of Control Volumes

Polyhedral Elements

Unstructured grids have the advantage of generality in that they can be made to conform to nearly any desired geometry. This generality, however, comes with a price. The grid generation process is not completely automatic and may require considerable user interaction to produce grids with acceptable degrees of local resolution while at the same time having a minimum of element distortion. Unstructured grids require more information to be stored and recovered than structured grids (e.g., the neighbor connectivity list), and changing element types and sizes can increase numerical approximation errors.

비 구조 격자는 일반적인 장점이 있어 필요한 거의 모든 기하학적 모양에 맞게 만들 수 있습니다.  그러나 이 일반성에는 대가가 따릅니다.  격자 생성 절차는 완전 자동이 아닌 요소의 왜곡을 최소화 경우에도 허용 수준의 국소 해상도를 가지는 격자를 생성하려면 사용자 개입이 상당히 필요할 수 있습니다.  비 구조 격자는 구조 격자보다 많은 정보를 저장하고 복구해야합니다 (인접 결합 목록 등).  또한 요소의 종류와 크기를 변경하면 숫자 근사 오류가 증가할 가능성이 있습니다.

A popular type of unstructured grid consists of tetrahedral elements. These grids tend to be easier to generate than those composed of hexahedral elements, but they generally have poorer numerical accuracy. For example, it is difficult to construct approximations that maintain an accurate propagation of one-dimensional flow disturbances because tetrahedral grid elements have no parallel faces.

일반적인 유형의 비 구조 격자는 사면체 요소로 구성되어 있습니다.  이러한 격자는 육면체 요소로 구성되어있는 것보다 쉽게 생성 할 수있는 경향이 있지만, 수치적 정확도는 일반적으로 낮습니다.  예를 들어 사면체 격자 요소에 평행하는면이 없기 때문에 1 차원 흐름의 교란의 정확한 전달을 유지하는 근사치를 구축하는 것은 어렵습니다.

In summary, the best choice for a grid system depends on several factors: convenience in generation, memory requirements, numerical accuracy, flexibility to conform to complex geometries, and flexibility for localized regions of high or low resolution.

즉, 격자 시스템으로 무엇이 최선의 선택 인지 결정은 생산의 용이성, 메모리 요구 사항, 수치적 정확성, 복잡한 기하학적 형상에 대응하는 유연성, 국소적인 해상도의 높낮이에 대응하는 유연성 등 다양한 요인이 있습니다.

Mesh Subdivision and/or Multiblock

In FLOW-3D a compromise is employed, which is called Free Gridding. The program uses a simple grid of rectangular elements, so it has the advantages of ease of generation, regularity for improved numerical accuracy, and requires very little memory storage.

FLOW-3D 프로그램은 Free Gridding 으로 불리는 타협안이 선택되고 있습니다.  이 프로그램은 사각형 요소로 구성된 간단한 격자를 사용하고 있기 때문에 생성이 간단하고 규칙적으로 수치적 정확도가 향상된다는 장점이 있으며, 매우 적은 메모리 저장소를 요구합니다.

Geometry is then defined within the grid by computing the fractional face areas and fractional volumes of each element that are blocked by obstacles. This Fractional Area Volume Obstacle Representation (FAVOR™) method requires that we store three area fractions and one volume fraction for each element, which is relatively little information compared with body-fitted grids.

기하형상은 장애물에 의해 차단된 각 요소의 표면적 점유율 및 볼륨 점유율을 계산하여 격자에서 정의됩니다.  이 FAVOR™(Fractional Area Volume Obstacle Representation) 법 에서는 요소마다 3개의 면적 점유율과 1개의 부피 점유율을 저장해야합니다.  이것은 body-fitted 격자에 비하면 상대적으로 적은 정보입니다.

The philosophy behind FAVOR™ is that the numerical algorithms are based on information consisting of only one pressure, one velocity, one temperature, etc. for each control volume, so it is inconsistent to use an excessive amount of information to define geometry. Thus, the FAVOR™ technique retains the simplicity of rectangular elements while representing complex geometric shapes at a level consistent with the use of averaged flow quantities within each volume element.

FAVOR™법의 배경에 있는 원리는 각 컨트롤 볼륨에 대해 수치 알고리즘은 하나의 압력 단일 속도, 1 개의 온도 등으로 구성된 정보에 근거하는 것입니다.  따라서 지오메트리를 정의하기 위해 과도한 정보를 사용한다는 것은 모순입니다.  따라서  FAVOR™법은 사각형 요소를 단순 유지하면서 각 체적 요소에서 평균된 유량을 사용하는 것과 모순되지 않는 수준에서 복잡한 기하학적 형상을 표현합니다.

Grids and geometry are free to be defined independently of one another with the FAVOR™ method. We refer to this as Free Gridding. The advantages of Free Gridding are that grids and geometries can be generated and modified with very little time or effort on the part of a user. It is the computer that does all the work of computing the intersections between a grid and an obstacle description, which is what automated computing is all about.

FAVOR™법을 사용하면 격자 와 기하학적 형상을 서로 독립적으로 자유롭게 정의 할 수 있습니다.  여기에서는 이것을 Free Gridding이라고 합니다.  Free Gridding의 장점은 사용자 측이 격자와 기하학적 형상을 매우 쉽고  빠르게 생성하고 수정할 수 있다는 것입니다.  격자와 obstacle  description이 만나는 부분의 계산 작업은 모든 컴퓨터가 합니다.  이것이 자동 컴퓨팅이라는 것입니다.