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FAVOR™ vs. Body-Fitted Coordinates

The simplicity of the fractional area/volume method FAVOR™ for modeling complex geometric regions is very attractive. But, can it compete in terms of accuracy with deformed grids such as those employed by finite-element or body-fitted coordinate methods? A comparison between these methods shows that there are only small differences between the capabilities of the two approaches.

복잡한 기하 영역을 모델링하기 위해 면적/체적 점유율을 측정하는 FAVOR TM 법의 간결함은 매우 매력적입니다.  그러나 유한 요소법과 BFC (body-fitted coordinate : 물체 적합 좌표) 법에서 사용되는  변형 격자와 비교할 때 정확도면에서 경쟁 할 수 있을까요?  이러한 기술을 비교함으로써 이 두 가지 방법의 기능의 차이는 매우 적다는 것을 알 수 있습니다.

In the absence of solid boundaries there is little fundamental difference between grids of differently shaped control volumes. Some methods require users to store more information (e.g., node locations and various geometric factors) and some exhibit differing levels of accuracy depending on the amount of element distortion. In all cases, however, the underlying idea is a discrete approximation in which fluid forces and fluxes are computed for each element in the grid.

고체 경계가 존재하지 않는 경우, 형상이 다른 컨트롤 볼륨 격자 사이에는 근본적인 차이는 거의 없습니다.  어떤 방법이 더 많은 정보를 저장하도록 요구할 경우 (노드 위치, 다양한 기하학적 형상 요소 등)나 요소의 왜곡의 양에 따라 정확도 수준은 다를 수 있습니다.  그러나 어떤 경우에도 기초가 되는 개념은 격자의 각 요소마다 유체의 힘과 플럭스가 계산된 근사치입니다.

It is the issue of obstacle boundaries that is most often raised as an advantage of deformable grids because they can be constructed to fit the geometry. Two consequences come with this flexibility. One consequence is that these grids must be unstructured for general use. This is because structured grids can only undergo limited distortion before elements are turned inside out. The other consequence is that the distortion of an element makes it more difficult to construct accurate numerical approximations.

이것은 기하학적 형상에 적합하도록 구축 될 수있는 변형 가능한 격자의 장점으로 거론되는 가장 흔한 장애물 경계의 문제입니다.  이러한 유연성은 2 개의 결과가 포함됩니다.  하나는 이러한 격자는 범용으로 비구조이어야한다는 것입니다.  구조 격자의 경우 조금 왜곡을 더한 것만으로 요소가 뒤집어지기 때문입니다.  또 하나는 요소의 왜곡에 의해 정확한 수치 근사를 구축하는 것이 더욱 어려워 질 것입니다.

Structured FAVOR™ Grids vs. Unstructured Grids

The FAVOR™ concept can be used in connection with any type of grid including grids consisting of rectangular or distorted elements and whether the grid is structured or unstructured. Structured grids are best because they are easy to generate and the indices for neighboring elements are known. Rectangular grid elements make it easy to compute the fractional areas and volumes of elements used by the FAVOR™ method.

FAVOR TM의 개념은 사각형 요소와 왜곡 요소로 이루어진 격자를 포함하여, 또한 구조 격자 또는 비구조 격자 여부에 관계없이 모든 종류의 격자와 관련시켜 사용할 수 있습니다.  그 중에서도 구조 격자가 좋습니다.  구조 격자는 쉽게 생성 할 수 인접한 요소의 인덱스를 알고 있기 때문입니다.  직사각형의 격자 요소를 사용하면 FAVOR TM 법에서 사용되는 요소의 면적 점유율과 체적 점유율을 쉽게 계산할 수 있습니다.

The ease with which structured, rectangular grids can be generated makes this an obvious choice for the FAVOR™ method. However, the specification of open and closed grid regions implicit in the FAVOR™ method introduces a type of unstructured computing environment, because only those elements having a finite amount of open volume are actually computed. This results in a computation that is analogous to an unstructured grid computation.

직사각형 구조 격자를 쉽게 생성 할 수 있기 때문에 FAVOR TM 법에서는이를 선택하는 것이 당연하게되어 있습니다.  그러나 FAVOR TM 법에서는 열린 격자 공간과 닫힌 격자 영역의 지정을 잠재적하는 일종의 비구조 계산 환경입니다.  이것은 열린 체적의 크기가 유한한 요소만 실제로 계산되어 그 결과, 비 구조 격자의 계산과 비슷한 계산이 되기 때문입니다.

The analogy with a true unstructured grid is not perfect. For example, the FAVOR™ method requires storage for all elements whether they are blocked or not, while unstructured grids require storage of neighbor lists. Storing all elements is the price paid for automatically knowing which elements are neighbors. Of course, if heat conduction is to be computed in the solid regions surrounding a fluid, then blocked elements must be kept anyway.

진짜 비구조 격자와 유사하지만 완전하지 않습니다.  예를 들어, FAVOR TM 법은 차단되어 있는지 여부에 관계없이 모든 요소의 스토리지가 필요하지만, 비 구조 격자는 인접리스트의 스토리지가 필요합니다.  어떤 요소가 인접해 있는지를 자동으로 알 수 있는 대신 모든 요소를 저장해야 합니다.  물론, 유체를 둘러싼 고체 영역에서 열전도가 계산되는 경우 차단되는 요소는 어느쪽으로도 유지해야합니다.

One disadvantage associated with rectangular, structured grids is that they cannot be distorted to increase resolution in a localized region. Grid lines can be constructed closer together in a particular region for increased resolution, but these grid lines then extend across the entire grid. As a result, the number of elements in a grid may become large. Offsetting this disadvantage is the simplicity of grid generation. There is also the possibility of introducing multiple grid blocks joined at their boundaries to provide increased local resolution without a large increase in the number of grid cells.

직사각형 구조 격자와 관련된 단점 중 하나는 국소화된 영역에서 변형시켜 해상도를 올릴 수 없는 것입니다.  격자선은 특정 영역에서 해상도를 높이기 위해 세밀하게 만들 수 있지만, 이러한 격자는 그 격자 전체에 퍼집니다.  그 결과 하나의 격자 내의 요소의 수가 증가 할 수 있습니다.  이 단점을 상쇄하는 것이 격자 생성의 간단함입니다.  또한 경계에 결합된 복수의 격자 블록을 도입하여 격자 셀의 수를 크게 증가시키지 않고 국소적인 해상도를 올릴 가능성도 있습니다.

The FAVOR™ method is seen to have properties analogous to unstructured grids but without the overhead associated with the construction of unstructured body-fitted or finite-element grids. Since grid generation often requires a major investment of time and effort, the elimination of this task makes FAVOR™ a very desirable alternative.

FAVOR TM 법은 비 구조 격자와 유사한 특성을 가진 것으로 볼 수 있지만, 비 구조의 물체 적합 격자와 유한 요소 격자의 구축과 관련된 오버 헤드는 없습니다.  격자 생성에 시간과 노력을 많이 투자해야하는 경우가 많기 때문에이 작업이 불필요하게 됨으로써 FAVOR TM은 매우 바람직한 선택이 되고 있습니다.

FAVOR™ Elements vs. Body-Fitted Coordinate Elements

A second issue with deformed grids is that their deformation can be used to fit a bounding solid surface. This is accomplished by moving the nodes of elements closest to the surface onto the surface. In contrast, in the FAVOR™ method a surface is allowed to cut through an element and its location is recorded not by moving the edges of the element but in terms of the fractional face areas and fractional volume of the element that are not covered by the solid.

변형 격자의 두 번째 문제는 경계의 고체 표면에 대한 적합성에 변형을 사용할 수 있는 것입니다.  이것은 표면에 가장 가까운 요소 노드를 표면으로 이동함으로써 달성됩니다.  반대로 FAVOR TM 법에서는 표면에서 요소를 자를 수 있도록 허용되고 그 위치는 요소의 끝을 이동함으로써가 아니라 고체로 덮여 있지 않은 요소의 표면적 점유율 및 볼륨 점유율로 기록됩니다.

What we wish to show is that this fractional area/volume technique for defining solid boundaries has the same consequences for numerical approximation as does a deformed (i.e., body-fitted coordinates) grid technique.

우리가 보여주고 싶은 것은 경계를 정의하는 면적/체적 점유율 기법의 수치 근사의 결과가 변형 (BFC) 격자 기법과 동일한 결과를 가지고 있다는 것 입니다.

The most important point to recognize about the FAVOR™ method is that approximations of fluid-dynamic quantities are restricted to the open regions of elements. This restriction introduces fractional areas and volumes of elements as factors directly into the discrete approximations. For example, the flux of a quantity from one element to another has the fractional area of the fluxing boundary that is open to flow as a multiplier.

FAVOR ™ 법에 대해 이해하는 가장 중요한 점은 유체 역학의 유량의 근사치는 요소가 열려있는 영역에 한정되는 것입니다.  이 제한은 요소의 면적/체적 점유율은 인자로 분리된 사치에 직접 도입됩니다.  예를 들어, 요소 요소에 유량의 플럭스는 승수(multiplier)로 흐름에 대해 열려있는 플럭스 경계의 면적 점유율을 가지고 있습니다.

In this way FAVOR™ and body-fitted coordinates both compute fluxes across the faces of elements that employ the same areas. In FAVOR™ the areas are stored as fractions of the original element face areas. In a BFC method the areas are computed from the coordinates of the nodes defining the faces, and often times they are also stored so they don’t have to be recomputed.

이처럼 FAVOR TM과 BFC는 모두 동일한 면적을 사용하는 요소의 면을 통과하는 유량을 계산합니다.  FAVOR TM는 면적은 원래 요소 표면적의 비율로 저장됩니다.  BFC 법에서는 면적은 표면을 정의하는 노드의 좌표에서 계산됩니다.  많은 경우 저장도 되기 때문에 재 계산의 필요가 없습니다.

FAVOR method in FLOW-3D

Figure 1: FAVOR™ blocked cell left (a) and BFC cell right (b). Solid region is shaded.

When constructing difference approximations in a grid of non-uniform elements it is necessary to know the effective element widths in different directions. A simple example is given in Fig. 1, which shows an element with a solid boundary. In this case the solid boundary is parallel with the vertical sides of the element. For a deformed element, Fig. 1b, the width of the cell would be h and this width would be used for computing differences in the horizontal direction.

불균일 요소 격자에서 차분 근사를 구축 할 때 다양한 방향의 유효 성분 폭을 알고 있어야 합니다.  간단한 예를 그림 1에 나타냅니다.  이것은 고체 경계를 가지는 요소를 보여줍니다.  이 경우 고체 경계 요소의 수직 측면과 평행하고 있습니다.  변형 된 요소 (그림 1b)에 대해 셀의 폭은 h되어,이 폭을 사용하여 가로 방향의 차이가 계산됩니다.

In FAVOR™ the width of the open portion of the cell is equal to the product of the open volume fraction and the original cell width. It is this product that is used in FAVOR™ for difference approximations in the horizontal direction and it is the same as the width of the deformed cell, h.

FAVOR TM에서 셀의 열 부분의 폭은 열린 체적 점유율과 원래의 셀 폭의 곱 같습니다.  이것은 수평방향에서의 근사 차이에 대한 FAVOR TM이 사용된 제품이며 이는 변형 된 셀의 폭 h와 같습니다.

When differences are computed in a vertical direction, for example, across the top of the element (i.e., parallel to the solid boundary in Fig. 1) the FAVOR™ method approximation involves a ratio of the fractional area at the top divided by the fractional volume. This ratio has a value of unity because the solid boundary blocks the same fraction of area horizontally as it does volume, which again makes the approximation similar to that of a BFC cell. Thus, there is no difference between the effective cell widths used in making difference approximations in FAVOR™ and body-fitted coordinate cells.

세로 방향, 예를 들어 요소의 표면과 교차 (그림 1의 고체 경계와 평행) 방향으로 차이를 계산하는 경우 FAVOR TM 법의 근사치는 윗면의 면적 점유율을 체적 점유율로 나눈 비율이 관계 합니다.  이 비율의 값은 1입니다.  이것은 고체 경계에 따라 부피와 마찬가지로 동일한 면적 점유율이 옆으로 차단되기 때문입니다.  따라서 여기서도 근사 BFC 셀과 비슷합니다.  이처럼 FAVOR TM 셀과 BFC 셀에서 차등 근사 할 때 사용하는 유효한 셀 폭에 차이는 없습니다.

FAVOR method in FLOW-3D for boundary-fitted coordinate systems

Figure 2: FAVOR™ cell left (a) and body-fitted coordinate cell right (b). Solid region is shaded.

If the solid surface is slanted as shown in Fig. 2, then the top and bottom face areas are different but are still known quantities in either case. Further, the average horizontal width of the open portion of the cell (h) is still the same because the volume fraction does not change when the solid surface is rotated about a midpoint within the cell (see dashed line). Here again there is little to distinguish between a FAVOR™ and a body-fitted coordinate cell.

그림 2와 같이 고체 표면이 경사져있는 경우에는 위 아래의 표면적은 다르지만 두 경우 모두 알려진 양입니다.  또한 셀의 열 부분의 가로 방향의 평균 폭 (h)도 마찬가지입니다.  이것은 셀의 중간 지점 (점선 참조)을 중심으로 단단한 표면을 회전해도, 체적 점유율은 변하지 않기 때문입니다.  여기서도 FAVOR TM 셀과 BFC 셀을 구별 할 수있는 것은 거의 없습니다.

Summary

It is well known that body-fitted coordinate grids can be difficult to construct, and there has been a huge effort devoted to the development of “automatic” grid generators. It is also well known that even with the best of grid generators it still takes a significant amount of time to establish a workable and well-behaved grid.

The simple rectangular construction of FAVOR™ grids makes them extremely easy to generate. Fractional areas and fractional volumes must be computed to define obstacles placed within a grid, but theses computations are well defined and easy to automate using simple algorithms.

Numerical accuracy is not sacrificed when selecting FAVOR™ over a body-fitted coordinate gridding method. The two approaches simply represent different ways to approximate bounding surfaces.

Finally, the numerical advantages inherent in the structured, smoothly varying, strictly orthogonal grids used by the FAVOR™ method should not be overlooked. These advantages, as well as the ability to automatically represent porous media (i.e., another example of a fractional area/volume region) are additional reasons why the FAVOR™ method was selected as the basis of FLOW-3D.

BFC 격자의 구축이 어려운 것은 잘 알려져 있으며 “자동”격자 생성 기능의 개발에 많은 노력을 쏟고 있습니다.  또한 최고 수준의 격자 생성 기능을 사용하더라도 유효하고 적절한 기능을 수행 격자를 조합하려면 상당한 시간이 걸릴 수 있다는 것이 잘 알려져 있습니다.

FAVOR TM 격자는 간단한 직사각형 구조이기 때문에 매우 쉽게 생성 할 수 있습니다.  격자에 배치 장애물을 정의하는 면적 점유율과 체적 점유율을 계산해야하지만, 이러한 계산은 잘 정의되어 있으며, 간단한 알고리즘을 사용하여 쉽게 자동화 할 수 있습니다.

격자 생성 기법으로 BFC 대신 FAVOR TM을 선택하여 수치적 정확성이 희생되는 것은 아닙니다.  이 두 가지 방법은 경계 표면의 근사 방법이 다를뿐입니다.

마지막으로, FAVOR TM 법에서 사용되는 구조화 된 변동이 부드럽고 엄격한 직교 격자 고유의 수많은 장점은 간과해서는 안됩니다.  이러한 장점과 다공성 매체 (면적 / 체적 점유율 영역의 또 다른 예)를 자동으로 표현하는 기능은 FAVOR TM 법이 FLOW-3D의 기초로 뽑힌 또 하나의 이유입니다.