All materials, whether gas, liquid or solid exhibit some change in volume when subjected to a compressive stress. The degree of compressibility is measured by a bulk modulus of elasticity, E, defined as either E=δp/ (δρ/ρ ), or E=δp/(-δV/V), where δp is a change in pressure and δρ or δV is the corresponding change in density or specific volume. Since δp/δρ =c², where c is the adiabatic speed of sound, another expression for E is E =ρc². In liquids and solids E is typically a large number so that density and volume changes are generally very small unless exceptionally large pressures are applied.

기체, 액체, 고체에 관계없이 모든 물질은 압축 응력에 따라 부피가 어느 정도 변화합니다.  압축의 정도는 E = δp / (δρ / ρ) 또는 E = δp / (- δV / V)로 정의되는 체적 탄성 계수 E에 의해 측정됩니다.  여기서 δp는 압력의 변화, δρ과 δV는 밀도와 비 체적의 대응하는 변화입니다.  δp / δρ = c 2 (c 단열 음속)이기 때문에 E를 나타내는 또 다른 표현은 E = ρc 2입니다.  액체 및 고체, E는 일반적으로 큰 수치이며, 예외적으로 큰 압력이 가해지지 않는 한 밀도와 부피의 변화는 일반적으로 무시할 수 있습니다.

If an incompressible assumption is made in which densities are assumed to remain constant, it is important to know under what conditions that assumption is likely to be valid. There are, in fact, two conditions that must be satisfied before compressibility effects can be ignored. Let us define “incompressibility” as a good approximation when the ratio δ ρ/ρ is much smaller than unity. To determine the conditions for this approximation we must estimate the magnitude of changes in density.

밀도가 일정하게 유지된다는 가정으로 비압축성 가설을 세울 경우, 그 가설이 어떤 조건에서 활성화 될지를 아는 것이 중요합니다.  실제로 두 가지 조건이 충족되면 압축성 효과를 무시할 수 있습니다.  여기에서는 “비압축성”을 δρ/ρ의 비율이 1보다 훨씬 작은 경우 비교적 정확한 근사로 정의합니다.  이 근사 조건을 결정하기 위해서는 밀도의 변화의 크기를 추정해야합니다.

Steady Flow / 정상 흐름

In steady flow, the maximum change in pressure can be estimated from Bernoulli’s relation to be δp=ρu². Combining this with the above relations for the bulk modulus, we see that the corresponding change in density is δρ/ρ = u²/c².

정상 흐름에서 압력의 가장 큰 변화는 베르누이의 관계식에서 δp = ρu 2로 추정 할 수 있습니다.  이것을 위의 체적 탄성 계수의 관계식과 결합하면 해당 밀도의 변화는 δρ / ρ = u 2 / c 2임을 알 수 있습니다.

Thus, the assumption of incompressibility requires that fluid speed be small compared to the speed of sound,

따라서 비압축성 가정에서는 유체 속도가 음속에 비해 작은 것이 필요합니다.

(1)    

Unsteady Flow / 비정상 흐름

In unsteady flow another condition must also be satisfied. If a significant change in velocity, u, occurs over a time interval t and distance l, then momentum considerations (for an inviscid fluid) require a corresponding pressure change of order δp = ρul/t . Since changes in density are related to changes in pressure through the square of the sound speed, δp=c²δρ , this relation becomes δρ/ρ = (u/c)l/(ct).

비정상 흐름은 또 다른 조건도 충족해야합니다.  시간 간격 t 거리 l에서 속도 u에 현저한 변화가 발생한 경우 (비 점성 유체의) 운동량 생각에는 δp = ρul / t 다음 대응하는 압력 변화가 필요합니다.  밀도의 변화는 음속의 2 승을 통해 압력의 변화와 상관하기 위해 (δp=c²δρ)이 관계식은 δρ/ρ = (u/c)l/(ct)입니다.

Comparing with expression (1), we see that the factor multiplying (u/c) must also be much less than one.

식 (1)과 비교하면 (u/c)에 거는 계수도 1보다 크게 줄여야한다 것을 알 수 있습니다.

(2)    

Physically, this condition says that the distance traveled by a sound wave in the time interval t must be much larger than the distance l, so that the propagation of pressure signals in the fluid can be considered nearly instantaneous compared to the time interval over which the flow changes significantly.

물리적으로,이 조건은 음파가 시간 t 사이에 이동하는 거리는 거리 l보다 훨씬 커야한다는 것을 보여줍니다.  이것은 유체의 압력 신호 전파가 흐름이 크게 변화하는 시간 간격과 비교하여 거의 순간적이라고 생각할 수 있도록하기 위해서입니다.

Incompressible Example / 비 압축성의 예

An example of why both conditions are required can be found in the collapse of a vapor bubble. During the collapse process the surrounding liquid can be treated as an incompressible fluid because the collapse velocity is much less than the speed of sound. However, at the instant the bubble vanishes, all the fluid momentum rushing toward the point of collapse must be stopped. If this really happened instantaneously, the collapse pressure would be enormous, i.e., much larger than what is actually observed. Since a sound signal requires time to travel out from the collapse point to signal incoming fluid that it must stop, Condition Two is violated (i.e., l > ct ). An accurate numerical model of the collapse process, one capable of predicting the correct pressure transients, requires the addition of a bulk compressibility in the liquid.

두 조건이 필요한 이유의 예는 증기 거품의 붕괴에서 살펴볼 수 있습니다.  붕괴 속도는 음속보다 훨씬 작기 때문에 붕괴 과정에서 주위의 액체는 비압축성 유체로 처리 할 수 있습니다.  그러나 기포가 소멸하는 순간에 붕괴 지점으로 향하는 유체 운동을 중지해야합니다.  이것이 정말 순식간에 발생하면 붕괴 압력은 매우 많고 실제로 관찰되는 압력보다 훨씬 커집니다.  음성 신호가 붕괴 점에서 나와 진행해 오는 유체를 중지하도록 지시 할 때까지 시간이 걸리기 때문에 조건 (i.e., l > ct )에 위배됩니다.  붕괴 과정의 정확한 수치 모델, 즉 압력의 과도 현상을 정확하게 예측할 수있는 모델은 액체의 부피 압축성을 추가해야합니다.