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Convergence Criteria/수렴 조건

No material is truly incompressible, but this assumption is often a good approximation. When using this assumption in connection with a numerical solution scheme it is necessary to devise some way to impose the physical mechanism that is responsible for the incompressible behavior.

완전히 비압축성인 물질은 존재하지 않지만 종종 비압축성이라는 가정은 좋은 근사치입니다. 이 가정을 수치 해법 방식으로 사용하는 경우에는 비압축성 거동에 대한 물리적 메커니즘을 주는 어떤 방법을 생각해야합니다.

(1) $\displaystyle \frac{d\rho }{dt}+\rho \nabla \cdot \vec{U}=0$

The measure of incompressibility is the divergence of the velocity, Ñ ·U, which is equal to the time rate-of-change of fluid volume per unit volume. The divergence appears in the mathematical statement of mass conservation, where dr/dt is the change in density of a fluid element as it moves with the fluid. If the fluid is incompressible then its density should remain constant and, according to Eq.(1), this implies the velocity divergence should be zero:

비압축성 속도의 발산은 Ñ · U로 계산합니다. 이것은 단위 부피당 유체 체적의 시간 변화율과 같습니다. 발산은 질량 보존식의 항으로 나타납니다. 여기서, dr / dt는 유체와 함께 이동하는 유체 요소의 밀도 변화입니다. 유체가 비압축성 일 때, 그 밀도는 항상 일정 식 1에서 속도의 발산은 0으로 표시됩니다.

$\displaystyle \nabla \cdot \overrightarrow{U}=0$

The physical mechanism that leads to incompressible behavior is the rapid propagation of pressure waves, which must move through a fluid much faster than the material speed of the fluid. Most often, the numerical propagation of pressure waves is accomplished by some sort of iteration scheme that couples pressures to velocities. The goal of the iteration is to reduce the magnitude of the velocity divergence below some absolute numerical value, e, called the convergence criteria.

비압축성의 거동을주는 물리적 메커니즘은 압력파의 급속한 전파이며, 유체의 물질 속도보다 훨씬 빠르게 유체 내를 이동해야합니다. 대부분의 경우, 압력파의 수치적인 전파는 압력과 속도를 연속하게 된 어떤 반복 계산 체계에서 구할 수 있습니다. 수렴 조건이라 불리는 속도의 발산의 크기가 몇몇 절대값 e 이하까지 계산을 반복하는 것이 목표입니다.

Selecting a Convergence Criteria

A question frequently asked is how should be be chosen? The answer to this is simple, and yet subtle, and depends on the numerical method that is selected for computing a solution.

“어떻게 수렴 기준을 선택해야합니까”는 자주 묻는 질문입니다. 그 대답은 간단하면서도 파악하기 어려운 것으로, 해를 구하기 위해 선택한 수치법에 따라 다릅니다.

A discretized version of Eq.(1) indicates the change in density occurring in one time step, dt, is given by:

식 1을 이산화 된 식으로 하나의 타임 단계 dt로 인한 밀도 변화가 나타납니다.

(2) $\displaystyle \frac{\delta \rho }{\rho }=\delta t\nabla \cdot \overrightarrow{U}$

There are a couple of things to observe about this result. First, the right side has the general order of magnitude of:

이 결과는 확인해야 할 몇 가지가 있습니다. 먼저 우변은 기본적으로 자릿수입니다.

$\displaystyle \delta t\nabla \cdot \overrightarrow{U}\approx \frac{\delta tU}{\delta x},$

where d x is the length or size of the discrete elements used in the numerical solution. This quantity is often referred to as the flow Courant number. It is well known that the Courant number should be less than one for accurate results. It must also be less than one for numerical stability when using explicit computational methods.

여기에서 dx는 수치 해법에서 사용하는 이산화 된 요소의 길이 또는 크기입니다. 이 양은 종종 흐름 “쿨랑 수”라고합니다. 정확한 결과를 얻기 위해서는 쿨랑 수를 1 이하로 해야한다고 알려져 있습니다. 또한 explicit 계산 법을 사용하는 경우도 수치 안정성을 위해 1 미만이어야합니다.

We see from relation (2) that if the Courant limit of one is exceeded, the change in density could be greater than the density itself! This observation is the reason why the Courant limit is so closely tied to issues of accuracy and stability. It also explains why stability conditions become more restrictive as the number of spatial dimensions increases from one to two or three. For stability, the accumulated change resulting from fluxes in all directions must not be allowed to change the density (or other quantity) by more than its current value. Thus, with more dimensions there are more fluxes and a smaller time-step size is needed to ensure that elements are not over emptied.

관계식 2에서 쿨랑 수가 1을 초과하면 밀도 변화의 값이 밀도 자체보다 커질 가능성이 있음을 알 수 있습니다. 이 점에서도 쿨랑 수가 정확성이나 안정성 등의 문제에 밀접하게 관계하고 있는 이유를 알 수 있습니다. 또한 공간적 차원이 1에서 2 또는 3으로 올라 갈수록 안정 조건이 더 어려워지는 이유도 설명됩니다. 안정성을 위해 모든 방향에서의 플럭스에서 발생하는 변화의 누적에 의해 밀도 (또는 다른 양)을 현재의 값보다 크게 변화시켜도 되지 않습니다. 따라서 보다 다차원에서 더 많은 플럭스가 발생하므로 요소가 필요 이상으로 비워지는 것을 피하기 위해 더 작은 시간 단계가 필요합니다.

Returning to relation (2), we see how much change in density to expect from a given convergence criteria e. For example, if e = 0.001 the expected change in density in one unit of time would be one tenth of one percent, certainly small enough to be considered “incompressible” for most applications.

관계식 2로 돌아 가면 주어진 수렴기준 e에서 예상 밀도 변화량을 알 수 있습니다. 예를 들어, e = 0.001하면 한 시간 단위로 예상 밀도 변화는 1 %의 1/10이며, 대부분의 응용프로그램은 “비압축성”으로 간주될 만큼 충분히 작습니다.

A value of e = 0.001 is the nominal value that is often suggested for incompressible flow calculations. In the case of natural convection or other problems where very small density variations are important, the value of e may have to be smaller, depending on how the governing equations are formulated.

e = 0.001은 비압축성 흐름 계산의 많은 경우에 적합하다고 일컬어지는 값입니다. 자연 대류의 경우와 매우 작은 밀도 변화가 중요한 문제에서는 지배 방정식을 어떻게 수립하는지에 따라 더 작은 값을 e로 지정해야 할 수도 있습니다.

If the value of e is too large, and the pressure solution method employs some amount of over-relaxation, the fluid may behave as though it is compressible. In this case numerical pressure waves might be observed to travel across the computational region. Reducing the value of e, or the amount of over-relaxation, reduces the amplitude of these artificial waves.

e 값이 너무 크면 압력의 솔루션 방법은 약간의 오버 완화를 포함하는 경우 유체가 압축성 거동을 나타낼 수 있습니다. 이 경우, 수치적인 압력파의 계산 영역에 걸친 이동을 볼 수 있습니다. e의 값을 작게하거나 지나치게 완화를 줄이면 이러한 인공적인 파도의 진폭이 작아집니다.

One question that needs to be answered is whether or not errors in density generated in one time step might accumulate to something more significant over a large number of time steps. The answer to this question is no, if the proper numerical method is employed.

대답해야 할 하나의 질문 문제는 하나의 시간 단계에서 생성되는 밀도의 오차가 여러 시간 단계에 걸쳐 큰 영향을 미칠 정도로 누적 될 가능성이 있는지 여부입니다. 이에 대해 적절한 수치 법을 채용하면, 그러한 가능성은 없습니다.

Selecting a Self-Correcting Numerical Method

When numerical iteration methods are employed, it is generally thought that very fine convergence criteria are required to produce accurate results. This in not true, however, if the equations being solved can be formulated in a “self correcting” way. The general idea can be illustrated in connection with the equations for an incompressible fluid, where the incompressibility condition is a zero velocity divergence, D:

수치 반복 계산법을 사용하는 경우, 일반적으로는 정확한 결과를 얻기 위해 매우 정밀한 수렴 기준이 필요하다고 생각합니다. 계산식이 “자기 보정” 형으로 수식화되는 경우, 그것은 반드시 제대로 되지 않습니다. 기본적인 생각은 비압축성 유체에 대한 식을 이용하여 설명 할 수 있습니다. 여기에서는 비압축성 조건으로 속도 발산 D를 제로로 합니다.

(3) $\displaystyle D=\nabla \cdot \overrightarrow{U}=0.$

The fluid pressure, p, must satisfy an equation that is derived by taking the divergence of the momentum equation (e.g., the Navier-Stokes equation). Retaining all terms, the pressure equation is:

유체의 압력 p는 운동량 방정식 (나비에 – 스토크 스 방정식 등)의 발산로부터 유도되는 식을 만족해야 합니다. 모든 항목을 유지하고 다음 압력식이 성립됩니다.

(4) $\displaystyle \frac{\partial D}{\partial t}={{\nabla }^{2}}\left( {p}/{\rho }\; \right)+\upsilon {{\nabla }^{2}}D-Q.$

where:

$\displaystyle Q=\nabla \cdot \left[ \nabla \cdot \left( \overline{UU} \right) \right].$

Here r is the fluid density and u its kinematic viscosity. This is a Poisson equation for pressure that is most efficiently solved each time step by an iteration process, for which there must be a convergence criteria.

여기서, r은 유체 밀도, u는 동점도입니다. 이것은 압력의 푸 아송 방정식으로 수렴 기준을 반드시 설정되는 반복 계산 과정을 통해 각 시간 단계가 가장 효율적으로 계산됩니다.

To minimize the accumulation of iteration convergence errors over many time steps one can employ a high level of convergence at each time step, or use a self-correcting treatment that was first used in connection with the Marker-and-Cell (MAC) method (F.H. Harlow and J.E. Welch, Phys. Fluids 8, 2182 (1965)). In many numerical methods devised to solve Eq.(4) the temptation is to set the left hand side to zero because of Eq.(3). In the self-corrective procedure, however, the left side is replaced by:

많은 시간 단계에 걸쳐 누적되는 반복 계산의 수렴 오차를 최소화하기 위해 각 시간 단계에서 높은 수준의 수렴을 설정하거나 MAC (Marker-and-Cell) 법 (FH Harlow, JE Welch , Physics of Fluids Volume 8, p.2182 (1965))과 함께 처음 사용 된 자기 보정형 처리를 사용합니다. 식 4를 풀기 위해 고안된 많은 수치 법에서는 식 3에서 왼쪽을 제로로하고 싶다고 생각 될지도 모릅니다. 그러나 자기 보정형 처리는 왼쪽 아래로 바뀝니다.

$\displaystyle \frac{\partial D}{\partial t}\approx \frac{{{D}^{n+1}}-{{D}^{n}}}{\delta t}\to \frac{-{{D}^{n}}}{\delta t},$

where n indicates the n-th time step.

여기서 n은 n 번째 시간 단계를 나타냅니다.

Retaining the $\displaystyle {{D}^{n}}$ term is a corrective procedure that tends to remove any error in velocity divergence left from the previous cycle. For instance, if D had a small positive residual in some element at the end of the n-th step, corresponding to a small expansion, then during step n+1 there is a source term added to the equation (i.e., -Dn/d t) to produce a corrective compression by the same amount.

Dⁿ 항을 유지하는 수정 작업은 이전주기에서 남은 속도 발산의 오차가 제거되는 경향이 있습니다. 예를 들어, n 번째 시간 단계의 마지막에 하나의 요소에 약간의 팽창에 해당하는 소량의 양의 오차가 D에 존재하는 경우 단계 n + 1는 그것을 해결하기 위해 같은 양의 압축이 생성 된 소스 항 (-D ⁿ / dt)가 식에 추가됩니다.

Using this procedure cuts down the accumulation of incompressibility errors, even when a relatively coarse convergence criteria is used for the pressure equation. More details about self-corrective procedures can be found in the paper: C.W. Hirt and F.H. Harlow, J. Comp. Phys. 2, 114 (1967).

이 프로세스는 압력 방정식에 비교적 거친 수렴 기준을 설정 한 경우에도 비압축성의 누적 오차는 줄어 듭니다. 자기 수정 형 처리에 대한 자세한 내용은 다음 리소스를 참조하십시오. CW Hirt, FH Harlow, Journal of Computational Physics Volume 2, p.114 (1967).

One distinct advantage of the self-corrective feature, which is not always appreciated, is its insensitivity to initial conditions. Some incompressible flow solvers require initial conditions that satisfy the incompressibility condition. Because of this, these methods sometimes require the solution of a separate problem to get usable initial conditions. In the MAC method, and other methods that use the self-correcting feature, any non-zero velocity divergence in initial conditions is automatically removed after the first cycle of calculation. The convenience of this feature for users cannot be over emphasized.

자기 보정형 기능의 가장 큰 특징으로는 반드시 평가되는 것은 아니지만 초기 조건을 덜 엄격하게 처리 할 점이 있습니다. 일부 비압축성 흐름 해결사는 비압축성 조건을 만족하는 초기 조건이 요구됩니다. 따라서이 방법은 사용 가능한 초기 조건을 얻기 위해 다른 문제에 대한 해결책이 필요할 수 있습니다. MAC 법이나 자기 수정 형 기능을 사용하는 다른 방법으로는 초기 조건의 비 제로의 속도 발산 계산의 첫 번째 사이클에서 자동으로 제거됩니다. 사용자들에게는 매우 편리한 기능이라는 것은 말할 필요도 없습니다.

FLOW-3D uses the self-corrective procedure as well as an automatic setting of the convergence criteria that adjusts e to whatever is happening during the course of a solution. The latter is another user convenience that can be extremely useful for problems having a variety of flow stages.

FLOW-3D 프로그램은 자기 보정형 처리뿐만 아니라 솔루션을 계산하는 동안 발생하는 상태에 따라 e가 조정되는 수렴기준 자동 설정 기능을 제공합니다. 후자 또한 다양한 흐름의 단계를 갖는 문제에 사용자에게 매우 유용한 사용하기 쉬운 기능입니다.