Bubble and Void Region Models

액체 및 기체 둘 다 존재하는 유동의 많은 계산들은 “자유표면유동”으로 이상화될 수 있다. 이런 형태의 유동은 기체를 균일압력과 온도를 가지는 지역으로 간주하여 해석되는데 이로써 기체의 역학을 해석할 필요가 없어진다. 자유표면 계산에서 FLOW-3D 는 유체가 차지하는지역의 유체 분율이 0이 아닌 것으로 인식한다. 자유표면 계산은 유체분율이 0인지역이 존재해야 한다. 이런 각 지역은 “공간지역”(또는 가끔 “기포”)로 불린다. 공간지역들은 서로가 유체셀, 물체 또는 배플 등에 의해 분리되어 있을 수 있다. 이런 지역들은 물리적으로 기체에 의해 차지된 체적들을 나타낸다. VOF 해석 알고리즘은 이런 지역에서의 기체의 역학을 해석하지 않는다; 대신에 균일 압력지역으로 처리하며 이는 보통 탁월한 근사이다. 압력은 액체/기체 경계면에서 경계조건으로 이용된다.

공간영역에 대한 압력(그리고 아마 온도)의 평가는 공간 지역 모델에 달려있다. FLOW-3D 에서 사용되는 4가지 공간 지역 모델은:

  • Fixed Pressure Regions (고정압력지역)
  • Cavitation Regions  (캐비테이션 지역)
  • Adiabatic Bubbles (단열 기포)
  • Homogeneous Bubbles (동질 기포)

어떤 계산은 다른 지역에 따라 다른 모델을 사용하거나 또는 심지어 같은 지역에서도 시간에 따라 다른 모델을 이용할 수 가있다.

각 연결된 지역에서의 단일압력 사용은 주변의 비압축 유체의 형상의 변화에 따른 속도보다 음파가 훨씬 짧은 시간에 전파한다고 추정한다. 그러나 이 가정은 충분히 많은 관심 문제들에 정확히 사용될 수 있다.

망 경계에 부딪히는기포는 경계조건에 의해 영향을 받을 수 있다. 예를들면 고정압력 경계에 인접한 임의의 공간지역은 체적변화, 합체나 분해에 상관없이 자동적으로 기술된 경계압력을 취한다. 고정압력 경계에 인접한 공간지역은 엔탈피가 증가(또는 감소)할 것이다. 유동이 계산영역으로 들어오면 엔탈피 증가가 지정 경계조건으로부터 계산된다. 출구 경계라면 나가고 있는 기포 내의 앤탈피이다. 참고[NH80]는 이 기포 모델에 대한 이론 근거를 기술한다.

 

Constant Pressure Void Regions 일정압력공간지역

유체와 기체의 밀도가 상당히 다를 때 기체 내의 작은 압력변화와 기체의 관성은 유체의 그것들에 비해 무시될 수있다. 예를들면 물과 공기 밀도의 비는 약 1000이다. 이 경우 각 공간지역은 균일 압력지역으로 간주될 수 있다. FLOW-3D 에서 이런 유동은 자유표면으로 간주되는 기체 경계를 가지는 1유체모델로 기술된다.

더욱이 기체가 체적 변화(즉, 압축이나 팽창)를 겪지 않으면 공간지역의 압력은 시간에 대해 일정하다고 가정될 수 있다. 예를들면 일정한 압력 공간영역 모델은 기체가 대기압 하의 공기일 경우 같은 개수로의 경우에 대해 잘 적용된다. 또 다른 예제는 사형 내로의 금속액체의 충진인데 여기서도 사형의 다공은 사형 내의 공기가 갇히지 않고 빠져나가는 것을 보장해준다.

공간이 특정 압력 경계와 연결되어 있으면 이때 공간은 시간의 함수로 지정될 수 있는 그 경계에서 지정된 압력을 가지는 것으로 가정된다.

 

Homogeneous Bubble Model 동질기포모델

이 절에서는 비단열 상태에서의 질량과 에너지 변화를 추가한 단열 기포 모델의 확장형을 기술한다(사용자 사이트http://users.flow3d.com/tech-notes/default.asp에서 FSI기술노트 #57 를 참고하라). 고체-공간 열전달은 한 기포내의 가스와 기포에 노출된 고체 간의 열교환을 제공한다. 기포 표면에서의 상변화에 따른 질량과 에너지 교환은 기포 기체가 액체 기포로 이루어진 것 같은 경우에 포함될 수 있다.

동질기포는 FLOW-3D에서 사용하는 액체 열역학적 성질과 일치하는 단순하고 강력한 공식을 갖는다. 이 모델은 Homogeneous Bubble(동질기포) 모델이라고 불린다. 이런 명명은 기포 내의 기체의 압력과 온도는 공간적으로 일정하다(즉, 균일하다)는 사실을 강조하나 시간에 따라 변할 수 있다. 한 계산에서 각기 고유한 온도와 압력을 가지는 많은 이런 기포가 있을 수 있다.

기포 상태방정식은 이상기체 방정식이다.

p = (\gamma - 1)\rho C_v^{\rm{vap}}T

여기에서

  • p는 기포압력
  • ρ는 기체밀도
  • Cvvap는 기포의 일정체적에서의 비열이고
  • T는 절대 기포 온도이다.
  • γ는 기체비열의 비율이다(Variable Pressure Void참조).

기포의 기체상수는 \left( {\gamma - 1} \right)C_V^{\rm{vap}}와 같다는 것에 주목한다.

기포에서 질량이나 에너지소스가 없다면 이는 마치 초기 상태(p0, V0) 에서 새 상태(p,V ) 로 다음 상태식에 따라 변하며 단열 과정 같이 거동할 것이다.

p = {p_0}{\left( {\frac{V_0}{V}} \right)^\gamma }

상변화가 일어날 때 기포의 포화압력을 온도의 항으로 표현하는 해석적 관계식을 아는 것이 필요하다. FLOW-3D 에서 이 디폴트 관계식은 온도 T의 함수로 Psat 를 표현하는 Clapeyron 방정식이다.

{p^{\rm{sat}}} = {\rm{PV1}} \cdot \exp \left[ {\frac{{ - \left( {\frac{1}{T} - \frac{1}{{\rm{TV1}}}} \right)}}{{\rm{TVEXP}}}} \right]

여기서,

(PV1, TV1) 는 포화곡선 상의 한점이며

TVEXP 는 다음으로 주어지는 상수의 지수이다

{\rm{TVEXP}} = \frac{(\gamma - 1)C_v^{\rm{vap}}}{\rm{CLHV1}}

여기서 CLHV1는 기화 변환열(잠열)이다.

상변화율은 일반적으로 포화조건으로부터의 편차를 측정하는 어떤 것에 비례하는 것으로 모델링된다. 운동이론에 따른 일반식은

\mathbf{Net} \: \mathbf{mass} \: \mathbf{transfer} = \sqrt {\frac{M}{{2\pi R}}} \left( {{a_{\rm{vap}}}\frac{{{P_l}^{\rm{sat}}}}{{\sqrt {{T_l}} }} - {a_{\rm{con}}}\frac{{{P_v}}}{{\sqrt {{T_v}} }}} \right)

여기서

  • M 은 기포의 분자중량
  • R 은 기포기체상수
  • T 는 온도이며
  • 아래 첨자 l v 는액체와 기체 상태를 뜻한다.
  • Tl. Pl 에 있는 위첨자 sat 는 액체온도 Tl 에 상응하는포화압력을 가리킨다.
  • 마지막으로 계수avap acon는 각기 기화와 응축을 위한 “적응계수“이다

이 식의 근원은 질량유속(예를들면, 액체면에서의 응축)이 표면상에서의 분자의 국부적인 속도와 기포밀도에 비례해야 한다는 것이다. Maxwellian 속도 분포를 가정하면[PP76], 표면으로의 지역 속도는 다음과 같다.

{u_{\rm{in}}} = \sqrt {\frac{{RT}}{{2\pi }}}

이 결과를 기포 상태방정식과 결합하면 질량 전달식(10.48) 에서의 두 번째항(응축)이 나타난다. 기화항도 유사하게 유도된다. 즉 적응계수 즉 acon 은 액체 표면에 부딪히는 기포분자가 잡히는 확률이다. 이 해석에 따라 적응계수는 일반적으로 1보다 작거나 같을 수 있다.

기화와 응축 적응계수는 같다고 흔히 가정되나 이래야 되는이론적 근거는 없다. 더구나 이 값들에 대한 이론적 예측도 없다. 이 식은 액체로부터의 기체로의 “순수” 질량전달이라는 점을 주목할 필요가 있다. 순수 질량 교환 없이 에너지를 전달하는 액체와 기체 사이의 분자교환의 가능성에 대해 전혀 언급하지 않는다. 현재 목적을 위해 상변화율을 다음과 같이 단순화하기로 하였다.

\mathbf{Net} \: \mathbf{mass} \: \mathbf{transfer} = {\rm{RSIZE}}\sqrt {\frac{M}{{2\pi R{T_{\rm{bdy}}}}}} (P_l^{\rm{sat}} - {P_v})

여기서 RSIZE 는 순수” 적응계수” 이고 Tbdy 는 기포면을 따른 평균 액체온도이다.

 

Cavitating Void Regions 공동성 기포지역

공동성 기포지역은 지역의 압력이 입계치 Pcav 보다 작아질 때 유체에 발생한다. 공동 기포성장율을 모사하는데2개의 모델의 선택이있다: Simplified 모델과 Empirical 모델 (자세한 내용은 Cavitation and Bubble Formation (Nucleation)를 참조하라).

단순 모델에서 공동 초기 생성율은 입력변수 CAVRT 에 의해 조절될 수 있다; 지역 유체 압력이 입계치 Pcav 보다 작아지는 셀 내에서 유체분율은 CAVRT 시간 후에 셀의 1%가 공동이 되도록 줄어든다. CAVRT 가 지정되지 않으면 그 때는 5∆t 가 시간 간격으로 사용된다.

경험적 모델에서 공동 초기생성율은 생성소산항의 균형에의해 조절된다. 공동 생성은 지역 압력이Pcav 보다 작아지는 셀에서발생한다; 이 비율은 다음에의해 결정된다:

Cav_{\text{production}} = C_p \frac{E_{\text{turb}}}{\sigma} \rho_l \sqrt{ \left[ \frac{2}{3} \frac{P_{\rm{cav}}-P}{\rho_l} \right] } \left( 1 - f_{\rm{cav}} \right)

여기서 Cp공동 생성 계수, Eturb 는 난류 운동에너지(또는 난류모델이 사용되지 않으면 전체 운동에너지의 10%), σ 표면 장력 계수, Pcav 는 지정된 공동 압력, P 는 전체 유체압력, 그리고 fcav 는 계산셀 내의 공동의 질량율이다. 이 항은 P < Pcav 인 셀에서만 0이 아니다는 점에 주목한다.

공동소산은 지역압력이 Pcav 이상인 셀 내에서 생긴다; 이 비율은 다음과 같이 결정된다..

Cav_{\text{dissipation}} = C_d \frac{E_{\text{turb}}}{\sigma} \frac{{\rho_l}^2}{\rho_{\rm{cav}}} \sqrt{ \left[ \frac{2}{3} \frac{P - P_{\rm{cav}}}{\rho_l} \right] } f_{\rm{cav}}

여기서 Cd 공동 소산 계수이다. 이 항은 P > Pcav 인 셀에서만 0이아니며 양수의 공동 체적율이있을 때만 관련이있다(즉 공동체적율은 음수일수가없다.).

공동 체적율을 위한 이송방정식에 더해지면 Vcav 는 다음과 같다.

\frac{D V_{\rm{cav}}}{D t} = Cav_{\text{production}} - Cav_{\text{dissipation}}

선택된 모델에 상관없이 새 공동지역이 발생하면 이는 공동압력과 같은 압력을 가지는 고정 압력 기포로 처리된다. 공동 압력은 고정변수이며 현재 온도에 의존하지 않는다.

한 계산에서 공동 기포는 다른 형태의 공동지역과 같이 존재할 수있다.

 

Variable Pressure Void Regions 가변 압력 기포 지역

 

기체 체적이 닫힌 공간에 갇혀 있는 경우에 기체 압력은 더 이상 상수일 수가 없다. 예로써, 물밑에서 올라오는 공기방울은 가변압력을 가질 수 있다.

FLOW-3D 는 비압축 1유체 형태에서 하나 또는 그 이상의 기포지역을 기술할 수 있다. 기포모델은 PV γ 가 상수인 팽창 또는 압축의 등엔트로피 모델을 이용하여 공간 지역 내의 각 기포 내의 압력 P 을 평가한다. 여기서 γ 는 보통 비열의 비율 γ = Cp/CV 로 정의되는 등엔트로피 지수이다.

엄격히 말해서 이 기포압력 모델은 가역 단열 변화가 일어나는 기포지역이 이상기체로 거동할 경우에만 유효하다.

기포지역은 단순한 압축과 팽창 외에 더 복잡하게 거동할 수 있다. 이들은 부서지거나 합쳐지고 격자 경계에서 질량과 에너지를 주거나 받을 수 있다. 이런 모든 과정은 FLOW-3D 에서 기포압력 모델에 의해 근사화 된다. 합쳐진 기포의 압력은 이전의 각 기포의 압력의 체적 가중에 의해 결정된다. 부서진 기포는 이전 압력을가지는 새 기포를 생성한다. 이런 과정은 일정 PV γ 조건을 위반하는데 이는 단지 시간에대해 불연속적으로 발생하므로 축적된 에러는 작게 유지된다고 예상된다.

한 기포가 부서지지도 합쳐지지도 않으면 PV γ 관계는 새 압력을 결정한다.